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1、试题题目:设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且..

发布人:繁体字网(www.fantizi5.com) 发布时间:2015-12-14 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-
2
3

(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤
4
3

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的极值与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)∵函数f(x)图象关于原点对称,∴对任意实数x,都有f(-x)=-f(x).
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d,即bx2-2d=0恒成立.
∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.∴f′(x)=3ax2+c.
∵x=1时,f(x)取极小值-
2
3
.∴f′(1)=0且f(1)=-
2
3

即3a+c=0且a+c=-
2
3
.解得a=
1
3
,c=-1.(6分)
(2)证明:∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.
当x∈(-∞,-1)或(1,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0.
∴f(x)在[-1,1]上是减函数,且fmax(x)=f(-1)=
2
3
,fmin(x)=f(1)=-
2
3

∴在[-1,1]上,|f(x)|≤
2
3

于是x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=
2
3
+
2
3
=
4
3

故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤
4
3
.(12分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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