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1、试题题目:设函数f(x)=ex.(I)求证:f(x)≥ex;(II)记曲线y=f(x)在点P(t,f(t)..

发布人:繁体字网(www.fantizi5.com) 发布时间:2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=ex
(I)求证:f(x)≥ex;
(II)记曲线y=f(x)在点P(t,f(t))(其中t<0)处的切线为l,若l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S,求S的最大值.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(I)证明:设g(x)=ex-ex,∴g′(x)=ex-e,
由g′(x)=ex-e=0,得x=1,
∴在区间(-∞,1)上,g′(x)<0,
函数g(x)在区间(-∞,1)上单调递减,
在区间(1,+∞)上,g′(x)>0,
函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
g(x)≥g(1)=0,
∴f(x)≥ex.
(II)∵f′(x)=ex,∴曲线y=f(x)在点P外切线为l:y-et=et(x-t),
切线l与x轴的交点为(t-1,0),与y轴的交战为(0,et-tet),
∵t<0,∴S=S(t)=
1
2
(1-t)?(1-t)et
=
1
2
(1-2t+t2)et

S=
1
2
et(t2-1)

在(-∞-1)上,S(t)单调增,在(-1,0)上,S(t)单调减,
∴当t=-1时,S有最大值,此时S=
2
e
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=ex.(I)求证:f(x)≥ex;(II)记曲线y=f(x)在点P(t,f(t)..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。


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