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1、试题题目:已知函数f1(x)=mx4x2+16,f2(x)=(12)|x-m|,其中m∈R.(1)若0<m≤2,..

发布人:繁体字网(www.fantizi5.com) 发布时间:2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f1(x)=
mx
4x2+16
f2(x)=(
1
2
)|x-m|
,其中m∈R.
(1)若0<m≤2,试判断函数f (x)=f1(x)+f2(x)(x∈[2,+∞))的单调性,并证明你的结论;
(2)设函数g(x)=
f1(x) x≥2 
f2(x) x<2.
若对任意大于等于2的实数x1,总存在唯一的小于2的实数x2,使得g(x1)=g(x2)成立,试确定实数m的取值范围.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性、最值



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)f(x)为单调减函数.(1分)
证明:由0<m≤2,x≥2,可得f(x)=f1(x)+f2(x)=
mx
4x2+16
+(
1
2
)x-m
=
mx
4x2+16
+2m?(
1
2
)x

f′(x)=
4m(4-x2)
(4x2+16)2
+2m?(
1
2
)xln
1
2
=
m(4-x2)
(2x2+8)2
-2m?(
1
2
)xln2
,(4分)
且0<m≤2,x≥2,所以f'(x)<0.从而函数f(x)为单调减函数.(5分)
(亦可先分别用定义法或导数法论证函数f1(x)和f2(x)在[2,+∞)上单调递减,再得函数f(x)为单调减函数.)
(2)①若m≤0,由x1≥2,g(x1)=f1(x1)=
mx1
4
x21
+16
≤0

x2<2,g(x2)=f2(x2)=(
1
2
)|x2-m|>0

所以g(x1)=g(x2)不成立.(7分)
②若m>0,由x>2时,g′(x)=f1(x)=
m(4-x2)
(2x2+8)2
<0

所以g(x)在[2,+∞)单调递减.从而g(x1)∈(0,f1(2)],即g(x1)∈(0,
m
16
]
.(9分)
(a)若m≥2,由于x<2时,g(x)=f2(x)=(
1
2
)|x-m|=(
1
2
)m-x=(
1
2
)m?2x

所以g(x)在(-∞,2)上单调递增,从而g(x2)∈(0,f2(2)),即g(x2)∈(0,(
1
2
)m-2)

要使g(x1)=g(x2)成立,只需
m
16
<(
1
2
)m-2
,即
m
16
-(
1
2
)m-2<0
成立即可.
由于函数h(m)=
m
16
-(
1
2
)m-2
在[2,+∞)的单调递增,且h(4)=0,
所以2≤m<4.(12分)
(b)若0<m<2,由于x<2时,g(x)=f2(x)=(
1
2
)|x-m|=
(
1
2
)m-x x<m
(
1
2
)x-m m≤x<2.

所以g(x)在(-∞,m]上单调递增,在[m,2)上单调递减.
从而g(x2)∈(0,f2(m)],即g(x2)∈(0,1].
要使g(x1)=g(x2)成立,只需
m
16
<1
m
16
≤(
1
2
)2-m
成立,即
m
16
≤(
1
2
)2-m
成立即可.
由0<m<2,得
m
16
1
8
,  (
1
2
)2-m
1
4

故当0<m<2时,
m
16
≤(
1
2
)2-m
恒成立.(15分)
综上所述,m为区间(0,4)上任意实数.(16分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f1(x)=mx4x2+16,f2(x)=(12)|x-m|,其中m∈R.(1)若0<m≤2,..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性、最值”。


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