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1、试题题目:设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(I)若f(x)在[0,2]上的最大值..

发布人:繁体字网(www.fantizi5.com) 发布时间:2015-11-11 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).
(I)若f(x)在[0,2]上的最大值为0,求a的值;
(II)若f(x)在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f(x),α≤x≤β}=[α,β],求α的取值范围.

  试题来源:杭州一模   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:二次函数的性质及应用



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ) 当-
2a+1
2
≤1
,即:a≥-
3
2
时,f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0
故 a=-6(舍去),或a=-1;
-
2a+1
2
>1
,即:a<-
3
2
时,f(x)max=f(0)=a2+3a=0
故a=0(舍去)或a=-3.
综上得:a的取值为:a=-1或a=-3. (5分)
(Ⅱ) 若f(x)在[α,β]上递增,则满足:(1)-
2a+1
2
≤α
;(2)
f(α)=α
f(β)=β

即方程f(x)=x在[-
2a+1
2
,+∞)上有两个不相等的实根.
方程可化为x2+2ax+a2+3a=0,设g(x)=x2+2ax+a2+3a,
-
2a+1
2
<-a
△>0
g(-
2a+1
2
)≥0
,解得:-
1
12
≤a<0
.     (5分)
若f(x)在[α,β]上递减,则满足:
(1)-
2a+1
2
≥β
;(2)
f(α)=β
f(β)=α

α2+(2a+1)α+a2+3a=β
β2+(2a+1)β+a2+3a=α
得,两式相减得(α-β)(α+β)+(2a+1)(α-β)=β-α,即α+β+2a+1=-1.
即β=-α-2a-2.
∴α2+(2a+1)α+a2+3a=-α-2a-2,即α2+(2a+2)α+a2+5a+2=0.
同理:β2+(2a+2)β+a2+5a+2=0.
即方程x2+(2a+2)x+a2+5a+2=0在(-∞,-
2a+1
2
]
上有两个不相等的实根.
设h(x)=x2+(2a+2)x+a2+5a+2,则
-
2a+1
2
>-a-1
△>0
h(-
2a+1
2
)≥0
,解得:-
5
12
≤a<-
1
3
.    (5分)
综上所述:a∈[-
5
12
,-
1
3
)∪[-
1
12
,0)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(I)若f(x)在[0,2]上的最大值..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中二次函数的性质及应用”。


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